摘　要　主要介紹了圖形輸入過程中引起誤差的原因、誤差校正的原理及一些常用的誤差校正方法，特別是在MAPGIS中應用的分塊誤差校正方法，實踐表明效果很好，最后還簡要地介紹了圖形精度的評價.     

關鍵詞　數字化，控制點，誤差校正，數據精度.

　　現代計算機技術和自動控制技術的發展，使機助制圖技術發展很快.機助制圖主要可分為編輯準備階段、數字化階段、計算機編輯處理和分析實用階段、圖形輸出階段等.在各個階段中，圖形數據始終是機助制圖數據處理的對象，它用來描述來自現實世界的目標，具有定位、定性、時間和空間關系(包含、聯結、鄰接)的特征.其中定位是指在一個已知的坐標系里，空間實體都具有唯一的空間位置.但在圖件數字化輸入的過程中，通常由于圖紙變形等因素，使輸入后的圖形與實際圖形所在的位置往往有偏差，即存在誤差.本文主要介紹數字化過程中產生的誤差和誤差校正的方法以及對誤差精度的評價.
1　圖形數據誤差
　　
　　圖形數據誤差可分為源誤差、處理誤差和應用誤差3種類型.源誤差是指數據采集和錄入過程中產生的誤差，如制圖過程中展繪控制點、編繪或清繪地圖、制印和套色等引入的誤差，數字化過程中因紙張變形、變換比例尺、數字化儀的精度(定點誤差、重復誤差和分辨率)、操作員的技能和采樣點的密度等引起的誤差.處理誤差是指數據錄入后進行數據處理過程中產生的誤差，包括幾何變換、數據編輯、圖形化簡、數據格式轉換、計算機截斷誤差等.應用誤差是指空間數據在使用過程中出現的誤差［1］.其中數據處理誤差遠遠小于數據源的誤差，應用誤差不屬于數據本身的誤差，因此本文著重介紹數據源誤差及其校正方法.
　　在圖件數字化輸入過程中，通常的輸入方法有掃描矢量化、數字化儀跟蹤數字化、標準數據輸入法等.通常將一幅地圖按一定的數據結構數字化得到的數據一般存在如下誤差：(1)由于地圖紙張變形所產生的誤差；(2)由于數字化時地圖定向所產生的誤差；(3)由于數字化讀數所產生的誤差；(4)數字化操作產生的各種粗差.這些誤差的性質有系統誤差、偶然誤差和粗差.由于各種誤差的存在，使地圖各要素的數字化數據轉換成圖形時不能套合，使不同時間數字化的成果不能精確聯結，使相鄰圖幅不能拼接；所以數字化的地圖數據必須經過編輯處理和數據校正，消除輸入圖形的變形，才能使之滿足實際要求，進行應用或入庫.
　　一般情況下，數據編輯處理只能消除或減少在數字化過程中因操作產生的局部誤差或明顯誤差，但圖紙變形和數字化過程產生的隨機誤差，必須經過幾何校正，才能消除.由于造成數據變形的因素很多，對于不同因素引起的誤差，其校正方法也不同，具體采用何種方法應根據實際情況而定，因此，在設計系統時，應針對不同的情況，應用不同的方法來實施校正.
2　誤差校正方法
　　
　　輸入到計算機中的圖形，實際上都是通過其位置坐標(x,y)來表示，因此校正過程實質上是找一種數學關系(或函數關系)，描述變換前圖形坐標(x,y)與變換后圖形坐標(x′,y′)之間的換算，其數學關系一般描述為
　　這個數學關系常表示為二元多項式一次、二次或三次及更高次表達式.
　　為了求得上式的未知系數，首先尋找圖形中已知坐標的位置點，稱為控制點.這里所說的圖形控制點，實際上是指能代表圖形某塊位置坐標的變形情況，其實際值和理論值都已知或為可求得的點.如圖形中經緯網交點，它可指示一幅圖的位置情況，其周圍點的位置坐標往往是以其為依據的.在一幅圖中，具體經緯網點的理論坐標可以經計算或根據標準經緯網求得，為此，經緯網點往往作為校正用的控制點.其他如三角點、水準點、方里網的交點等都可以通過坐標表查得或通過實際的數學公式計算而得其真值，因此這些點也可以作為控制點.其次是如何選擇控制點的問題，控制點的多少決定了其位置計算關系式中的最高次數.為了使校正后的圖形各處校正效果都比較好，必須使控制點選取在圖形各處且分布比較均勻，特別是邊界、四角要有控制點，以避免圖形校正不能滿幅.增加控制點數目和增加多項式次數可以提高精度，現在一般采用的方案為：控制點在4至7個時，用雙線性變換公式，即
　　X=a1+a2x+a3y+a4xy,
　　Y=b1+b2x+b3y+b4xy.
控制點為8至19個時用二次多項式；控制點為20至49個時用三次多項式；控制點為50個以上時，用四次多項式并不再增加次數，因再繼續增加控制點和增加次數，位置精度增加很少而計算量增加很多，浪費了機時.實際上采用不同次數的多項式，分別適用于不同的變形校正.一次多項式變換，即仿射變換是一種比較簡單的一次變換，在進行直線變換和平行線變換時效果相當好，但不同方向上的長度比發生變化.二次變換是一種含二次項的變換，高次變換同二次變換相比，只是它含有常數項.這兩種變換的實質是：制圖資料上的直線經變換后可能為二次曲線或高次曲線，它適用于原圖有非線性變形的情況.在實際校正過程中，具體選哪一種，要看具體的變形而定：若滿足線性，如平移、縮放等最好用仿射變換；若滿足二次型或高次型最好用二次變換或高次變換.
　　對于給定的控制點，將每個控制點理論值和實際值代入所選公式進行對比，求出公式中的校正系數，根據校正系數，即可對圖形進行校正變換.那么，如何選擇數學關系并進行校正計算呢？下面介紹幾種方法.
2.1　幾何變換
　　在數字化過程中，由于地圖定向，即數字化儀坐標系與地圖投影坐標系不一致所產生的誤差，可以通過坐標旋轉得到校正.
　　設XOY系為數字化儀坐標系，xoy系為經平移旋轉后的地圖投影坐標系，其坐標變換公式為
　　x=Xcosα-Ysinα,
　　y=Ysinα+Ycosα.
式中α可通過共同點在兩系中的坐標求得，即
　　tanα=(yX-xY)/(xX+yY).
如發生平移或比例變化，則選擇平移或比例變換進行校正即可.
　　為了校正由于紙張伸縮和地圖定向引起的系統誤差，可采用同素變換進行數據校正.同素變換是一種比較簡單的一次變換，設數字化的坐標為(X,Y)，經同素變換后的坐標為(x,y)，則同素變換的公式為
    x=(A1X+A2Y+A3)/(C1X+C2Y+1),
    y=(B1X+B2Y+B3)/(C1X+C2Y+1).
2.2　最小二乘法線性校正
　　在實際校正過程中，由于造成變形的因素很多，有機械的、也有人工的，如數字化后的圖是放大了，還是縮小了，放大或縮小了多少倍，是局部變形還是整體變形，是某些圖元與實際不符，還是整個圖形都發生了畸變等，實際參數很難估算；因此很少通過幾何變換即可完全校正圖形.為此，一般采用上述介紹的一次或高次多項式進行校正.
　　從理論上講，控制點越多，分布越均勻，校正的效果越好.當方程次數與控制點的個數相同時，這樣總可以使控制點滿足精度要求.但當方程次數增高時，控制點外的其他位置點將按照曲面擬合路徑進行變換，而圖形輸入過程中產生的誤差很少滿足這種關系，因此控制點外其他點的誤差反而會增大，離控制點越遠，變化越大；所以在實際使用中很少用高次變換，一般用得較多的是一次變換，即仿射變換和雙線性變換，也稱雙一次變換.
　　當選定一數學關系時，如一次多項式或二次多項式，按照解方程組未知數與方程個數必須相同的原則，一次多項式選取3個控制點即可求出未知系數，二次多項式選取6個，雙線性多項式選取4個控制點即可.如果所給控制點數多于方程所要求的個數，為了使其盡量滿足各個控制點，可運用最小二乘法求解其校正系數.由于最小二乘法只能使各個控制點的真值與圖形輸入值的平方差達到最小，當控制點很多時，往往很難達到地圖精度的要求［2］.
2.3　分塊校正
　　圖形控制點實際上是分布在圖形中的一系列坐標位置點，校正的目的是通過這些已知的控制點，來校正整幅圖形，使其滿足精度要求.一般情況下，由于數據的相關性，圖形中某一點的位置誤差與其附近控制點的誤差最接近，受這些控制點的影響最大；距離越遠，影響越小.為此，可以將這些控制點形成一個個小區域，使該區域內的點僅受相應區域上的控制點控制.最簡單的方法是將這些控制點形成一個個三角形，所有的三角形組成了一個三角網，每個三角形內的點用該三角形上的3個控制點來進行校正.故可用仿射變換，即
　　通過這種計算，所得的結果圖件中，控制點可以完全達到所給定的值.每個三角形內部的點，都使用該三角形的校正系數來進行校正變換.相鄰的兩個三角形由于共邊，所以在公共邊上的點，用兩邊的校正系數進行校正都可以，跨接相鄰三角形的曲線不會出現跳躍現象.但對于三角形外的點需作特殊處理，為避免這種情況，在被校正圖形的邊緣處，要想辦法選取控制點，用外推的方法一般會產生較大的誤差.
　　那么如何構成三角形網呢？這實際上是一個三角剖分的問題.自動生成三角剖分的基本問題，是如何將有界平面上所有n個互不重合的參考點(在此為控制點)結成一張滿足下列條件的三角形格網：(1)三角形格網中的所有網格(剖分)都是三角形；(2)全部n個參考點都是三角形格網的結點，三角形格網共有n個結點.可利用一步法、分步法或應用數學形態學等方法來生成三角形網［3］.
　　合并相鄰的三角形，可以形成四邊形網，對于每個四邊形，可選用雙線性變換關系式.利用四邊形的4個頂點，即可求出每個四邊形內數據的校正系數.每個四邊形內的數據都通過雙線性變換關系式，根據所得的校正系數進行校正，則校正結果圖件中的控制點也可完全達到真值.特別是對于小比例尺區域圖來說，圖中都有經緯網，通常一個經緯網格就是一個四邊形，可作為一個校正單元，并對經緯網格進行統一編號.為了建立四邊形格網，計算校正多項式系數，應按一定的順序數字化所有經緯網的交點，將它們作為校正控制點，而經緯網交點的理論值可由坐標表查取或根據投影坐標公式求得.根據控制點的值，求得校正多項式的校正系數，從而可對網格內圖形元素的數字化點進行校正.
　　在MAPGIS中，就是采用這種校正方法，實際應用表明，效果很好.值得注意的是，由于是分塊進行校正，任一條具有行政意義的邊，可能隸屬于不同的校正單元，所以必須進行接邊處理.
3　圖形精度的評價
　　
　　由于引起誤差的因素比較多，因此評價起來也有困難，本文介紹一種對比方法.所謂對比方法就是將數字化后的數據通過繪圖機輸出產生回放圖件，將此輸出圖件(一般是透明片基)套合在數字化原圖上，選擇明顯的地物點、格網點、圖框交點等量測其目標位移的誤差，分別統計并計算出單位產品平面或高程中誤差.地物點的平面誤差計算為
高精度檢測
等精度檢測
其中：Xi，Yi為檢測值；xi，yi為數字地圖中點的坐標值；Mx，My分別表示地物點的X方向、Y方向的點位誤差；n為平面檢測點數.
　　相鄰地物點間距中誤差或點狀目標位移中誤差、線狀目標位移誤差按下式計算
式中：Δs為數字地圖的回放
圖與數字化原圖套合后經量測的點狀或線狀目標的位移差；n為量測邊的條數或點狀/線狀目標的個數［1］.
4　誤差校正的應用　　
　　MAPGIS軟件有很強的編圖制圖能力，其中提供了誤差校正功能模塊，由于最小二乘法只能使各個控制點的真值與圖形輸入值的平方差達到最小，當控制點很多時，往往很難達到地圖精度的要求.因此MAPGIS軟件使用了分塊校正方法，其校正過程如下.(1)原圖數字化.即從地圖編稿圖或地理底圖上采集數據數字化，包括掃描矢量化、數字化儀數字化，形成圖形數據文件.(2)圖形編輯處理.對于由于操作員跟蹤線跡和線劃時，出現重疊、漏采、輸入差錯等個別錯誤，借助編輯系統的功能，進行交互式編輯修改.對于由于紙張變形、定點誤差、設備精度等引起整幅圖形出現偏差，進行誤差校正.(3)為了對輸入的圖元文件進行校正，首先得確定圖形的控制點，通過采集控制點功能輸入校正圖形所用的控制點.控制點的采集要均勻，而且采集的控制點越多，控制越精確.(4)裝入圖形文件，鍵盤輸入或直接在圖上采集圖形中控制點的實際值.(5)直接從鍵盤輸入理論值或從標準數據文件中采集理論值.(6)根據采集的控制點構造格網，并計算每個格網的校正參數，然后進行相應文件校正.(7)顯示校正后的圖元文件，檢查校正效果，若仍未達到要求的精度，繼續前述步驟.

　　實踐表明，用這種方法校正輸入的圖件，可以完全達到圖件輸出精度的要求.實際上這種方法對控制點校正效果很好.為了進一步減小源誤差，避免誤差傳播，可在數字化圖件開始就控制數據誤差.如提高數字化儀和掃描儀的精度，提高操作員的實際操作能力和應用水平；在采集過程中，通過回歸統計、自動推演等方法求出采集點數據誤差的糾正關系式，這樣在開始輸入點過程中，就可以進行數據校正.


參考文獻
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2　赫普克；田佩俊譯.誤差理論與平差計算.北京：煤炭工業出版社，1989. 37～38
3　柯正誼，何建邦，池天河.數字地面模型.北京：中國科學技術出版社，1993. 57～58