【摘　要】　本文分析了二階多項(xiàng)式函數(shù)模型的幾何特征。通過(guò)曲面擬合測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面時(shí)對(duì)高程擬合起算點(diǎn)的可靠性分析、整體擬合和分區(qū)擬合的選擇、GPS高程擬合精度的分析等方法提出了自己的見(jiàn)解，并通過(guò)實(shí)例，介紹了上述方法的具體應(yīng)用。

一、前　言

　　GPS在控制測(cè)量中的應(yīng)用越來(lái)越受到測(cè)量工作者的青睞，特別是平面控制測(cè)量，利用GPS可以很靈活地布網(wǎng)，測(cè)量速度快效益好，精度高且均勻，減少了手工操作和內(nèi)業(yè)計(jì)算工作。然而GPS正常高的確定受高程異常的影響，用曲面擬合時(shí)需要多次試算，選擇不同的起算點(diǎn)，不同的分區(qū)均對(duì)GPS高程擬合精度有較大影響。筆者通過(guò)對(duì)曲面擬合模型(二階多項(xiàng)式函數(shù))的分析，提出利用高程異常圖選擇整體擬合和分區(qū)擬合，對(duì)高程擬合起算點(diǎn)的可靠性分析和GPS高程擬合精度的分析等方法，有助于提高GPS高程擬合精度。通過(guò)實(shí)例，介紹了上述方法的具體應(yīng)用。

二、大地高與正常高的關(guān)系

　　國(guó)家高程系統(tǒng)采用的是正常高或正高系統(tǒng)，我國(guó)采用正常高系統(tǒng)。正常高(或正高)是由地球重力場(chǎng)定義的高程參考面，即似大地水準(zhǔn)面(或大地水準(zhǔn)面)起算的。

　　GPS測(cè)定的是大地高差，獲得的是大地高而不是正常高，這是用GPS測(cè)定高程的主要問(wèn)題。

　　經(jīng)過(guò)GPS網(wǎng)的三維平差，可獲得各點(diǎn)的大地高h(yuǎn)i，如果在其中一些點(diǎn)上同時(shí)進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量可得出該點(diǎn)的正常高Hi，則該點(diǎn)高程異常可按下式求出：
ζi=hi-Hi　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
　　若由GPS和水準(zhǔn)測(cè)量共測(cè)點(diǎn)所得的ζi為已知，內(nèi)插其他GPS測(cè)點(diǎn)高程異常，從而獲得各點(diǎn)的正常高，這是GPS測(cè)定高程控制的基本方法。
　　三、用二階多項(xiàng)式函數(shù)擬合高程異常(曲面擬合)
　　曲面擬合法通常選取二階多項(xiàng)式函數(shù)，同濟(jì)大學(xué)研制的TGPPS軟件也采用如下模型：
ζi＝a0+a1xi+a2yi+a3x2i+a4y2i+a5xiyi+εi　　　　　　　　　　　(2)
式中，ζi表示高程異常，a0,…，a5為擬合系數(shù)，xi、yi為平面坐標(biāo)，εi為殘差。
　　通過(guò)6個(gè)以上已知高程異常值的GPS測(cè)點(diǎn)，用最小二乘法(［εi2］=min)求擬合系數(shù)，然后利用式(2)(不考慮殘差)求其他GPS點(diǎn)高程異常，最后獲得正常高。
　　下面來(lái)分析一下模型(2)的幾何特征。
　　對(duì)式(2)求一階偏導(dǎo)：
　　求二階偏導(dǎo)：

　　一旦式(2)確定，a0，…，a5均為一常數(shù)，模型(2)與某一切平面存在一個(gè)切點(diǎn)，說(shuō)明式(2)幾何表示為一“拋物單曲面”，僅有一個(gè)凹面或凸面。了解二階多項(xiàng)式函數(shù)模型的幾何特征非常重要，如果高程異常圖像鞍部、水波浪形等存在多個(gè)凹凸面時(shí)，用一個(gè)二階多項(xiàng)式函數(shù)就無(wú)法以數(shù)學(xué)形式表示，采用TGPPS軟件計(jì)算時(shí)結(jié)果就出現(xiàn)較大殘差；選擇不同起算點(diǎn)，無(wú)論怎樣試算也無(wú)法得以改善。

四、對(duì)高程擬合起算點(diǎn)的可靠性分析

　　似大地水準(zhǔn)面的形狀可以通過(guò)高程異常圖來(lái)反映。從式(1)可知高程異常值與正常高和大地高有關(guān)，等值線的繪制與分布點(diǎn)的高程異常值有關(guān)。在高程異常圖的繪制過(guò)程中，如果有某點(diǎn)的高程異常值與等值線趨勢(shì)明顯地不協(xié)調(diào)，我們應(yīng)對(duì)該點(diǎn)的高程(正常高和大地高)進(jìn)行分析和檢測(cè)。對(duì)大地高的數(shù)據(jù)分析可以打開(kāi)野外數(shù)據(jù)采集時(shí)儀器高的數(shù)據(jù)文件核查儀器高的輸入與手簿記錄是否一致，是否二次設(shè)站；對(duì)正常高的數(shù)據(jù)分析采用常規(guī)方法；必要時(shí)實(shí)地檢測(cè)大地高或正常高。

　　筆者最近對(duì)某市690 km2 GPS控制網(wǎng)的檢驗(yàn)中通過(guò)高程異常圖的繪制(圖1)發(fā)現(xiàn)443號(hào)點(diǎn)的高程異常值與等值線趨勢(shì)存在20 cm的偏離。從二次設(shè)站觀測(cè)方法可以判定該點(diǎn)大地高數(shù)據(jù)可靠；正常高的分析采用實(shí)地檢測(cè)方法，用三等水準(zhǔn)附合路線檢測(cè)該點(diǎn)高程，也得出原高程正確的結(jié)論。

　　從高程異常圖可以看出443號(hào)點(diǎn)周圍高程異常變化較大，為了反映高程異常細(xì)部，有必要在該點(diǎn)周圍增加水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)密度，有利于提高等值線繪制精度和高程擬合精度。

　　五、整體擬合和分區(qū)擬合的選擇

　　二階多項(xiàng)式函數(shù)模型的幾何特征為一“拋物單曲面”，然而一個(gè)測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面并不會(huì)如此規(guī)整，為了使二階多項(xiàng)式函數(shù)與似大地水準(zhǔn)面擬合得更好，有必要為二階多項(xiàng)式函數(shù)定義一個(gè)區(qū)域，即選擇整體擬合和分區(qū)擬合。

　　從二階多項(xiàng)式函數(shù)模型的幾何特征我們知道如果似大地水準(zhǔn)面的形狀僅存在一個(gè)凹面或凸面，選擇整體擬合能夠較好地獲得表示似大地水準(zhǔn)面形狀的二階多項(xiàng)式函數(shù)。在使用TGPPS軟件時(shí)由于受內(nèi)存的限制，三維平差一次最多平差70點(diǎn)左右，對(duì)于較大范圍控制的測(cè)區(qū)可以分區(qū)三維平差，獲得的大地高采用同一基準(zhǔn)，然后利用高程計(jì)算中數(shù)據(jù)編輯功能把各分區(qū)的高程數(shù)據(jù)文件組成一個(gè)整體擬合的高程數(shù)據(jù)文件。這樣也有利于減少水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)的數(shù)量，并獲得較好擬合精度的高程。

　　如果測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面的形狀存在兩個(gè)以上凹面或凸面，就需要對(duì)擬合模型進(jìn)行定義區(qū)域，即分區(qū)擬合。分區(qū)的原則是似大地水準(zhǔn)面分區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)凹面或凸面。

　　某市GPS網(wǎng)如果采用整體擬合方法擬合高程，各水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)的擬合殘差見(jiàn)表1。

表1　
點(diǎn)號(hào) 水準(zhǔn)高程/m 擬合高程/m 殘差/mm 點(diǎn)號(hào) 水準(zhǔn)高程/m 擬合高程/m 殘差/mm
439 3.046 3.123 -77 499 9.357 9.365 -8
443 3.111 3.312 -201 710 3.045 3.164 -119
454 4.093 4.088 +5 712 4.433 4.395 +38
459 4.174 4.160 +14 713 4.251 4.232 +19
465 5.065 5.074 -9 406 4.911 4.917 -6
705 3.117 3.155 -38 414 3.815 3.803 +12
706 5.323 5.289 +34 416 4.408 4.407 +1
707 3.847 3.880 -33 418 4.894 4.858 +36
708 4.672 4.652 +20 435 4.130 4.114 +16
320 9.621 9.657 -36 436 4.380 4.423 -43
471 3.925 3.829 +96 701 3.156 3.123 +33
472 3.360 3.279 +81 702 3.242 3.200 +42
488 5.166 5.126 +40 703 3.819 3.750 +69
491 5.108 5.095 +13 中誤差 
　　從某市高程異常圖可以看出該測(cè)區(qū)存在三處較大的凹凸面，采用整體擬合，精度較差，特別是曲面凹凸變換處殘差更大，例如：443、710、471點(diǎn)。

　　采用分區(qū)擬合時(shí)分區(qū)線的選擇按上述原則劃分，某市GPS網(wǎng)高程擬合分區(qū)線采用如圖1所示中a1a2、b1b2線把測(cè)區(qū)分成三個(gè)分區(qū)，計(jì)算各點(diǎn)擬合殘差見(jiàn)表2。 

表2　
點(diǎn)號(hào) 水準(zhǔn)高程/m 擬合高程/m 殘差/mm 點(diǎn)號(hào) 水準(zhǔn)高程/m 擬合高程/m 殘差/mm
分區(qū)Ⅰ
320 9.621 9.618 +3 499 9.357 9.365 -8
471 3.925 3.926 -1 710 3.045 3.046 -1
472 3.360 3.367 -7 712 4.433 4.425 +8
488 5.166 5.168 -2 713 4.251 4.256 -5
491 5.108 5.105 +3 擬合中誤差M1=±5 mm
分區(qū)Ⅱ
406 4.911 4.922 -11 436 4.380 4.396 -16
414 3.815 3.809 +6 701 3.156 3.147 +9
416 4.408 4.423 -15 702 3.342 3.252 -10
418 4.894 4.882 +12 703 3.819 3.824 -5
435 4.130 4.114 +16 擬合中誤差M2=±12 mm
分區(qū)Ⅲ
439 3.046 3.045 +1 706 5.323 5.317 +6
443 3.111 3.120 -9 459 4.174 4.163 -11
454 4.093 4.091 +2 707 3.847 3.863 -16
465 5.065 5.090 -25 708 4.672 4.658 +14
705 3.117 3.089 +28 擬合中誤差M3=±15 mm
　　從分區(qū)擬合結(jié)果來(lái)看，高程擬合精度得到了較大改善。
　　
六、高程擬合精度的分析

　　GPS高程擬合精度一般采用以下方法計(jì)算：

　　1. 計(jì)算擬合起算點(diǎn)的擬合中誤差，分析GPS擬合高程的內(nèi)符合精度。

　　2. 在GPS網(wǎng)中，適當(dāng)多聯(lián)測(cè)若干GPS網(wǎng)點(diǎn)幾何水準(zhǔn)，作為檢核點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算檢核點(diǎn)的擬合中誤差，分析GPS擬合高程的外符合精度。

　　3. 把檢核點(diǎn)的擬合殘差與相應(yīng)等級(jí)的水準(zhǔn)測(cè)量限差比較，分析GPS擬合高程所能達(dá)到的精度。

　　筆者認(rèn)為對(duì)GPS高程擬合精度的分析除上述方法外，還有一個(gè)重要環(huán)節(jié)是應(yīng)對(duì)擬合后的高程異常值繪制高程異常圖，來(lái)檢核高程擬合前后高程異常圖的變化，進(jìn)一步分析高程擬合特別是分區(qū)擬合接合部的高程擬合精度。

　　例如某市GPS網(wǎng)高程擬合分三個(gè)區(qū)分別作曲面擬合，擬合后的高程異常圖(圖2)很明顯存在二區(qū)間(Ⅱ和Ⅲ區(qū))等值線的分群，因此需要對(duì)各分區(qū)間的銜接增加必要的高程擬合起算數(shù)據(jù)�？梢赃x用跨區(qū)擬合起算點(diǎn)，并對(duì)分區(qū)線上點(diǎn)的高程取二區(qū)擬合高程中數(shù)。
　　
七、結(jié)論和建議

　　經(jīng)過(guò)上述分析和實(shí)例我們可得出如下結(jié)論和建議：

　　1. 采用二階多項(xiàng)式函數(shù)模型進(jìn)行曲面擬合時(shí)模型的適用范圍是在似大地水準(zhǔn)面形狀為一“拋物單曲面”，即僅有一個(gè)凹面或凸面。如果似大地水準(zhǔn)面形狀存在兩個(gè)以上凹凸面，需要對(duì)高程擬合進(jìn)行分區(qū)擬合，使分區(qū)域內(nèi)似大地水準(zhǔn)面形狀為一“拋物單曲面”。

　　2. 利用高程異常圖對(duì)高程擬合起算點(diǎn)的可靠性分析時(shí)須對(duì)該點(diǎn)大地高和正常高分別檢查，如果確認(rèn)局部高程異常變化較大時(shí)應(yīng)在該點(diǎn)周圍增加水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)密度，以反映高程異常細(xì)部，使高程異常圖較好地反映測(cè)區(qū)似大地水準(zhǔn)面形狀。

　　3. 對(duì)高程擬合精度的分析，筆者強(qiáng)調(diào)應(yīng)繪制擬合后的高程異常圖，進(jìn)一步分析高程擬合特別是分區(qū)擬合接合部的高程擬合精度情況。

　　4. GPS擬合高程精度在較大程度上取決于測(cè)區(qū)高程異常變化的均勻程度。對(duì)于不規(guī)則曲面，特別是局部小區(qū)域存在多個(gè)凹凸面，采用二階多項(xiàng)式函數(shù)模型有其一定的局限性。筆者建議可利用其他方法來(lái)內(nèi)插高程異常值，例如采用更高階次多項(xiàng)式函數(shù)模型，或采用多面函數(shù)模型等方法。上述認(rèn)識(shí)有待于進(jìn)一步探討。