【摘　要】　根據實測資料采用各種擬合方式所得的成果進行統計分析，發現同一個測區、同一組起算數據采用不同的擬合方式獲得的結果，與水準測得的成果有著顯著的差異。據此，提出通過選擇擬合方式來獲得較可靠成果的方法。

【關鍵詞】　GPS水準 擬合方式 統計分析 選擇

　　國內外許多試驗和實測成果業已表明，GPS測量方法可以替代傳統的地面平面控制測量，但用來替代常規幾何水準測量尚有待進一步研究解決。如何利用GPS給出的大地高，有效地將其轉換成我國采用的正常高系統，即是問題之一。

　　筆者所在單位在1996年底引進了4臺套美國CMT公司生產的March Ⅱ GPS多功能全球定位系統，在城鄉建立了不少的D、E級GPS控制網，這些網的平面精度都較高，其高程大部分采用了四等幾何水準方式施測。在對成果進行再整理中發現，對同一個測區的觀測成果，采用不同數量的起算數據或同樣的一組起算數據，采用不同的擬合方式所得到的GPS水準高程，輸出的高程評定精度都較高，而與幾何水準測量所得的高程相比則有著顯著的差異。欲在聯測的重合起算高程點極其有限或僅僅滿足起算點數要求的情況下，通過對各種擬合方式所得的平差結果進行分析檢驗，選擇GPS水準最佳擬合方式，使所得成果更為可靠，是一項十分有意義的工作。在此，筆者提出一個檢驗選擇的方法，以供參考。

　　1 GPS水準的原理及擬合方式的數學模型

　　由GPS所測得的高程是測站相對于WGS-84橢球面的大地高，而我國所采用的高程系統是相對于似大地水準面的正常高系統。地面點大地高，正常高，如圖1所示，存在以下關系：

　　H=Hg-△ξ （1）
　　式中，H為正常高，Hg 為GPS測得的大地高，△ξ為高程異常。

　　從上式可知：Hg可以由GPS相位測量精確測定，如何求得正常高，關鍵在求解各點的高程異常△ξ。為了求定精確的高程異常△ξ值，可以在GPS網中選擇一定數量均勻分布的點，采用幾何水準方式測定其高程，然后利用這些重合點進行數值擬合，以求得各待定點的正常高。根據擬合方式的不同，有不同的擬合方程式，它們分別為：

　　式中a、b、c、d、e、f分別為多項式系數為相對GPS網重心的平面坐標分量。從上面四個數字模型的擬合方程式中的待定系數可知，要求解方程，GPS網中至少要聯測1、3、4、6個重合己知高程點。利用這些重合已知高程點的高程異常值Δξ和坐標值，即可按最小二乘法求出擬合方程的待定系數及待定點正常高。


　　2 GPS水準的擬合方式統計

　　近年來，我院在貴港覃塘、來賓廖平等測區先后采用了GPS全球定位系統技術進行控制測量。首級控制網均按D級精度布設，為了滿足1：500、1：1000地形測繪的需要，在此基礎上采用E級GPS進行加密。這兩級的控制點在測區內都聯測了四等幾何水準。D、E級GPS平面精度相當高，點位中誤差都在3cm以內，邊長相對中誤差都優于1/8萬。圖根控制的高程閉合差亦很理想。這些測區既有平地也有丘陵，現以已收集的數據，對原用于平面控制平差的基線解算成果，按高程起算點分布相對均勻的原則，對覃塘和廖平兩個測區在原起算數據不變的情況下逐漸增加起算點數，或同一組起算數據采用不同的擬合方式所得的平差結果，與用四等幾何水準測量獲得的同一個點的高程進行比較。即：

　　式中、分別為同一點擬合的GPS水準高程與實測幾何水準高程，為兩者之差。現分別對兩個測區的結果、max、擬合平差輸出的mb平均值m及有關網形的基本情況進行統計，分別列于表1、表2。表中以A、B、C、D分別表示（2）、（3）、（4）、（5）式的數學模型擬合方式。
   

　　3 GPS水準擬合方式結果的分析

　　從上面兩個測區擬合方式的統計結果中，發現有如下幾個規律：

　　1）隨著起算數據的增加，同一種擬合方式的擬合結果越來越好，當起算數據達到一定量的時候，擬合精度在某一數值擺動。
　　2）平差結果所輸出的高差中誤差不能反映該網的擬合精度，其數值反映的往往是假象。
　　3）若起算數據剛好達到某種擬合方式數字模型所需的個數時，由于沒有多余的檢核條件，往往會產生較大的粗差。
　　4）同一組數據，采用不同的擬合方式，其擬合結果有著顯著的差異，關于擬合結果的優劣，應以平差結果值與幾何水準的方差 
的大小來衡量。在此我們采用科克倫（Cochran）法檢驗。

　　k個誤差序列對應的（無偏）樣本方差為，，…，，其中 （1≤i≤k）有相同的自由度v。
　　零假設 ：  - -… ，備擇假設 ：k個 
（1≤i≤k）
全相等。
　　  （7） 
　　進行檢驗時，根據顯著性水平a及k、v的值，由表3查得W（k）的1-a分位數W1-a，作出判斷，
　　W（k）≥W1-a （8）
　　成立，拒絕 
，如不成立，則接受 。

　　我們在這里檢驗時，可以理解為：如拒絕 ，則對應的擬合方式劣于其它方式，如接受 ，則認為擬合結果一致，無顯著差別。檢驗時，先將 的方差從大到小順序排列，先從最大的開始，按（7）、（8）兩式進行檢驗。若拒絕，則舍去該值，逐次循環檢驗就可以獲得擬合結果優劣的順序。現按該法，將上述兩測區的擬合方式結果的比較列于該表4。表中“>”表示“優于”。



　　4 GPS水準擬臺方式的選擇

　　因為所有未知數或平差值的函數都可表示為觀測量的線性組合，因此，當觀測值L為正態分布時，未知數或平差值也必須為正態分布。據此按A、B、C、D方式擬合定點的高程也為正態分布。只不過各個分布的中誤差不一樣。為此，待定點的最或是值可以通過求其加權平均值獲得。統計分析發現有如下關系：

　　式中分別為A、B、C、D擬合方式所得各待定點高程值，按（10）、（11）、（12）、（13）式求得檢驗方差自由度v=n-1（n為擬合點數），按科克倫法逐次檢驗，找出一個較為可靠的擬合方式。按該法對上述兩個測區的檢驗結果列于表5。
   

　　5 結束語

　　1）從實例中可以看出，該檢驗選擇法在起算點分布均勻的條件下行之有效。

　　2）擬合結果與起算點的位置及GPS水準網的形狀有關，起算點分布不均勻，在圖形怪異情況下，將造成較大的差異；建議使用A方式為好。

參考文獻 

[1] 覃沛璋 誤差分析與數據處理 國防工業出版社 1992
[2] [西德]H.沃爾夫 平差計算（實用公式） 測繪出版社 1983 
[3] 胡明城、魯福 現代大地測量學（上、下冊） 測繪出版社 1994 
[4] 王福保等 概率論及數理統計 同濟大學出版社 1994
[5] 劉大杰、施一民、過靜君 全球定位系統（GPS）的原理與數據處理 同濟大學出版社 1996