摘要： 本文首先建立了GPS與GLONASS軟組合定位的數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)對(duì)奪航和定位不同用戶的要求分別采用了遞推最小二乘擬合法,HeIm rt方差分圣枯計(jì)法以及Kalman濾波法對(duì)組合定位模型進(jìn)行了改化，求出載體的導(dǎo)航宋位參數(shù)，同時(shí)對(duì)GPS與GLONASS組合系統(tǒng)中的基準(zhǔn)統(tǒng)一問題進(jìn)行了分析

關(guān)鍵詞： GPS:G LONASS;組合定it;數(shù)學(xué)模型

O 引言

隨著空間技術(shù)的發(fā)展，空間工業(yè)化、空間商業(yè)化和空間軍事化將在21世紀(jì)成為大國爭霸空間的焦點(diǎn)，導(dǎo)航定位漸漸發(fā)展成為一門專門研究導(dǎo)航原理和技術(shù)裝備的學(xué)科在艦船、飛機(jī)、導(dǎo)彈、宇宙飛行器等載體上.導(dǎo)航系統(tǒng)是必不可少的重要設(shè)備。于是各國從自身的利益出發(fā)，紛紛推出了各種定位系統(tǒng)如:無線電定位系統(tǒng)、全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)、慣性導(dǎo)航系統(tǒng)

GPS是當(dāng)前最先進(jìn)的衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)，具有全球、全天候、高精度、實(shí)時(shí)定位等優(yōu)點(diǎn).因此在國外軍事、商業(yè)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。但美國為了保障自身的利益和安全，采取了各種方式人為地降低其導(dǎo)航與定位的精度。而前蘇聯(lián)的GLONASS全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)目前還處于示范和完善階段，這在戰(zhàn)時(shí)還不能發(fā)揮應(yīng)有的作用。

人們對(duì)導(dǎo)航定位系統(tǒng)的要求是全球覆蓋、全天候、高精度、高可靠性、快速連續(xù)顯示、多功能、適于各種導(dǎo)航環(huán)境等。目前上述單一導(dǎo)航系統(tǒng)均不能給予滿足。從實(shí)際出發(fā)，將GPS與GLONASS組合在一起，形成一個(gè)有機(jī)的整體，擴(kuò)大單個(gè)導(dǎo)航設(shè)備的功能，兼并優(yōu)點(diǎn)，互補(bǔ)缺點(diǎn)代形成組合導(dǎo)航定位系統(tǒng)以成為客觀應(yīng)用的需要。GPS與GLONASS組合定位系統(tǒng)〔以下簡稱:G&G)將有48顆衛(wèi)星，從而彌補(bǔ)了GPS,GLONASS的局限性，同時(shí)也在整體上極大地改善了各系統(tǒng)的完整性和有效性

1 G&G組合定位的觀測(cè)方程

根據(jù)偽距定位的模式，GPS的觀測(cè)方程可寫為:

八，二[(書一二，。)，+(外一夕。戶)，+(z二一Z,,)Z ]1;2+b。戶+vi戶(1)
GLONASS的觀測(cè)方程可寫為:
at:二[(x},一zkL)2+ (Yi一Y})2+ (zi一ZLk)21 112+bu.+v( (2)
由于 G P S所采用的WGS-84坐標(biāo)系與GLONASS所采用的SGS-85(S GS-90)不一致，為了形成統(tǒng)一的組合定位成果，我們分別采用下列兩種方法:

”衛(wèi)星坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法。假若我們所需的最后成果為WGS-84坐標(biāo)系下的，則可以應(yīng)用現(xiàn)已成熟的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法將GLONASS衛(wèi)星的SGS-85坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為WGS-84坐標(biāo)值，這樣通過(2)式所求的待定點(diǎn)的坐標(biāo)便成為WGS-84系下的坐標(biāo)值。

2) 偽距轉(zhuǎn)換法。在待定點(diǎn)上同時(shí)觀側(cè)GPS與GLONASS定位星座，分別代人()1(2)求出待定點(diǎn)在GPS,GI,ONASS定位系統(tǒng)下的坐標(biāo)，然后在將SGS-85坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成WGS-84坐標(biāo)
G&G組合定位的觀測(cè)方程可寫成下列形式:
(3) (4J
寫成矩陣形式為:
v, = l,8s +二如+n;Sz一8b一Sbe,一L,
y = X B + V
L丁 ， 萬一[Ss S y 8 z Sb Sb e] '
。」 T為 高 斯偽距剩余測(cè)量噪聲
從協(xié)
L.勸
二 1
7 二:
其中:y=
V 二
X 二
{，二、。，一1一1
氣為GLONASS與GPS時(shí)的同步誤差產(chǎn)生的等效距離

2 G&G組合定位的常見數(shù)學(xué)模型

21 遞推最小二乘擬合法
在各設(shè)備獨(dú)立工作的基礎(chǔ)上，對(duì)其獨(dú)立定位的輸出經(jīng)過濾波后再作用于推算定位系統(tǒng)。在此過程中，根據(jù)各設(shè)備的特性，對(duì)每個(gè)輸人分別給以合理的加權(quán)，使最后平差后的位置為各分離輸入的最優(yōu)值。當(dāng)我們對(duì)測(cè)量設(shè)備比較熟悉、能夠事先給出測(cè)量噪聲的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，采用加權(quán)最小二乘法比一般最小二乘法的估計(jì)精度高。但加權(quán)最小二乘法仍然不能適應(yīng)于計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理為此，我們?cè)诩訖?quán)最小二乘的基礎(chǔ)上，將算PA致造成遞推形式，即利用前次的估計(jì)全和新采人的測(cè)量數(shù)據(jù)平差而產(chǎn)生新的估計(jì)值，以適應(yīng)計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)處理的需要。遞推加權(quán)最小二乘法每進(jìn)行一次側(cè)量就處理一次，因此不必存儲(chǔ)歷史數(shù)據(jù)，而且矩陣運(yùn)算維持在低階水平上，運(yùn)算速度快，以適應(yīng)實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)導(dǎo)航定位的要求。

現(xiàn)設(shè)增加了一次采集數(shù)據(jù)為(s.+，二*z ... Y-11)。令‘ 一(yn.-).H 二
(s. s, +2… 幾十二)，則(4)式變成
.GI-H !二一+{。蘭1! (5)
了y )
令y,+1一(GI. X ,+ ‘一HX1{,.V'+ ，一{
Y, +,
則上式可以寫成
V月斗1
=凡+1及+】+V.+,
式中及一表示由，-} l組測(cè)量數(shù)據(jù)求得的參數(shù)估值。相應(yīng)地，由原始數(shù)據(jù)求得的估值萬應(yīng)記為萬，
至此可得法方程為
叉二 沐 ，_ 刃 ， = X 共, 從十 1 湯 )
進(jìn)一步改化可得
及+ ,二 B . + (X TX + F I rH ) -'H r (‘ 一 H .) (7 )
對(duì)上式中的二階逆進(jìn)行變換可得:
Q.* , = Qn 一 Q, H `(E + H Q H '`) -' HQ ., (8)
其中:E=1見是協(xié)因數(shù)陣，且弘= (XTX)-,
將(8)式代人(7)式最后得:
B ，二 及 HT (‘ 一 H 2, ) (9 )
在具體計(jì)算時(shí)可以先取足夠的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算(護(hù)X)-, = Q..及I.，然后增加一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù).按
8) 式、(9)式計(jì)算q+、及及，，，以后再依次增加逐次遞推。

隨著 觀 測(cè) 數(shù)據(jù)的不斷增加.會(huì)出現(xiàn)濾波飽和現(xiàn)象，使得新增加的數(shù)據(jù)不再起作用，這大大影UR了參數(shù)估計(jì)的精度。為此，我們給出了限定記憶遞推濾波公式
gl,_ 一 P } + Q,;_ ,( Ir -z }y. +: 一 F} rd v) (〕).{
其中,;_,=(X.--,X,_一H;H,)-',H:=(X X,2… X,m)
月、 、 = ( X刊 sn+1.2 … .z十，二勻、-=3'__一又，1.勿、二y一y,。規(guī)定數(shù)據(jù)的長度，例如，個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù).每次均采用最新的，上數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)每增加一個(gè)數(shù)據(jù)就自動(dòng)地剔除第一個(gè)數(shù)據(jù)。

2.2 Helmert方差分f估計(jì)

當(dāng)我們對(duì)測(cè)里設(shè)備比較熟悉、能夠事先給出側(cè)量噪聲的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，對(duì)每個(gè)輸人分別給以合理的權(quán)，采用限定記憶遞推濾波加權(quán)最小二乘法比一般最小二乘法的估計(jì)精度高、動(dòng)態(tài)計(jì)算性能好但我們?cè)趯?duì)G&JG組合系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理時(shí)，事先并不能知道它們各自測(cè)量噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，因此.很難在平差過程中賦予正確的權(quán)。隨著近代測(cè)量平差理論的發(fā)展，利用Helmert方差分量估計(jì)，在滿足各類或各種精度的觀測(cè)值之間是隨機(jī)獨(dú)立的條件下，即可比較可靠的獲得最佳的組合導(dǎo)航定位信息。
設(shè)誤差方程為:

V 二 ZR 一 L (1 1 )
其中包含GPS,GLONASS兩類觀測(cè)值。

由于第一次平差給出的兩類觀測(cè)值的權(quán)陣是不準(zhǔn)確的，不妨假設(shè)單位權(quán)陣分別為;赫 }QOt}硫;其中端,:為兩類觀測(cè)值之間的單位權(quán)協(xié)方差，在本文中因?yàn)槭抢�用GPS,GLONASS獨(dú)立觀側(cè)的.因此下面的公式中Oil:二0e現(xiàn)將 誤 差 方程分成兩組v,v2，一{AZ，一心(12)相應(yīng)的協(xié)方差陣為:

7。一}
&Q,
0
0
0.42
(13)
式中、Q:已知。of.端 :為待定的方差分量。
經(jīng)一 系 列 推導(dǎo)可得G&G的Helmer:方差分量估計(jì)式如下所示〔5:
To '= W 和 T a '二 W r. (1 4)
式中:工，一t,(G TGZJ,),W ,二V'R;V,R認(rèn)=L TGTR;GL

He lm er: 方差分量估計(jì)的計(jì)算步驟如下:

l)由于GPS與GLONASS的觀測(cè)精度不相等，因此將側(cè)量值分成兩組，選取單位權(quán)方差和
協(xié)方差因子的初值，即確定習(xí)

2)進(jìn)行第一次平差，求出
竺然
V'R:
后確定權(quán)的初值P,,,

3)按 (l4)式求Fa的第一次近似值，然后重新計(jì)算皿、和P,
4)重復(fù)進(jìn)行(2).(.3)步驟，直至}端7- 'Qz0:為止。

2.3 Kalman濾法法

隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，應(yīng)用最優(yōu)估計(jì)方法進(jìn)行組合定位系統(tǒng)的理論越來越受到人們的重視。利用卡爾曼濾波技術(shù)處理G&G的測(cè)量數(shù)據(jù).然后為系統(tǒng)提供最佳估計(jì)，并采用最優(yōu)控制方法.將狀態(tài)估計(jì)再加到系統(tǒng)中去，以達(dá)到極大的抑制隨機(jī)誤差影響的目的
線性離散Kalman濾波模型的動(dòng)態(tài)方程為:

X: = 電 沂 一IX 卜 : + We (1 5 )
考慮到各種擾動(dòng)因素G&C;的狀態(tài)變量為:
X = 仁S 8 ,,b b 二 二 ， VN ,VE ,a x, a:二 (16)
觀測(cè)方程為
L, = 兒 X ， 十 八 ( 1 7 )
若 、 ，久 是互不相關(guān)的零值白噪聲，則濾波的預(yù)報(bào)修正值為:
又 4- 1= 叭 法 一1* 決_ : (l 8 )
而最佳濾波估計(jì)值為:
又 ，*= X ,. ,-} .7, (L ,一 A ,X ,,, -J ( 1 9 )
其中:J*為增益矩陣。

使用Kalman濾波技術(shù)因注意以下幾個(gè)問題:

1) 初始狀態(tài)的確定。在定位中，我們一般取開始兩個(gè)或三個(gè)單點(diǎn)定位數(shù)據(jù)作為確定初始狀態(tài)的信息。不妨設(shè)對(duì)應(yīng)于t_Z,t-，和‘。的位置分別為(二一2,Y-2).(二_1，y一1)和(二。,.vv)，令少二‘一t_; = t_1一t-:從而可得初始位置為:s9=二。,Ys.=Yo，初始加速度為:a=n=(二+二一:一2二一) }-V ,a,%,與a.，類似。

2) Kalman濾波的穩(wěn)定性。由Kalman濾波的性質(zhì)知，若模型無偏差，則預(yù)報(bào)的殘差應(yīng)服從正態(tài)分布。而如果模型存在偏差，濾波時(shí)又未顧及，則預(yù)報(bào)的殘差不再是零均值的正態(tài)分布。為此，我們還必須進(jìn)行偏差的檢驗(yàn)和定位，從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

3) Kalman濾波的發(fā)散現(xiàn)象。同樣由于模型的偏差、噪聲以及計(jì)算舍人誤差的等，還能導(dǎo)致濾波的發(fā)散。這種情況發(fā)生后，雖然從表面上看，狀態(tài)向t估值的協(xié)方差陣可能很小，但此時(shí)的濾波結(jié)果已發(fā)生嚴(yán)重的失真。目前，解決該問題的方法較多，如:Sage自適應(yīng)濾波、固定增益濾波、平方根濾波以及平方根UDUT濾波算法等等。