1  前  言

國家有關規范規定，在大、中型工程測量中，其控制網必須與國家控制點聯測，或采用國家坐標系統，以達到測量資源共享、成果共用的目的。國家坐標系統是采用高斯－克呂格正形投影（簡稱“高斯投影”），即先由大地面投影到參考橢球面，再由參考橢球面投影到高斯平面；而高程面則是投影到大地水準面上。公路測量常用的處理方法是，采用分帶形式，以減小高斯投影產生的長度變形；而高程面的投影，因為測區平均高程面與大地水準面的差值和地球曲率半徑相比微不足道，故忽略不計。然而，隨著公路建設的不斷擴大與發展，公路（特別是高速公路）從平原微丘區向山嶺重丘區（乃至高原地區）延伸，測區高程面由數10m增加到數百米乃至數千米；由于高程面的不同所產生的長度變形對工程建設的影響是我們必須考慮的問題。如，據有關計算表明，當大地高程面H＝700m時，其長度變形為11cm/km，遠大于規范允許值，這對于重要工程的測量是一個不可忽略的小數。本文通過分析討論，提出在（任意）選定的抵償高程面上的平面坐標的計算方法來解決長度變形問題。

1   獨立坐標系中投影于抵償高程面上的坐標換算

在獨立坐標系中，原有坐標X、Y投影高程面為H0，測區平均高程面為H，為使實測邊長與成圖平面上的邊長相一致，不致產生過大的長度投影變形，需將測區平均高程面H作為抵償高程面（簡稱投影面），從而建立新的地方獨立坐標系統。利用原有坐標X、Y換算成新的投影面（抵償高程面）上的獨立坐標Xˊ、Yˊ，一般取測區中心或附近點為投影原點（X0、Y0），換算過程中不考慮橢球面正形投影到高斯平面上長度改化變形因素對坐標換算的影響，公式推導如下。如圖1所示：

R-投影區地球平均曲 率半徑

H0-原坐標投影面高程

H-新坐標投影面（抵償高程 面）高程

X0、Y0-投影原點坐標

X、Y-原坐標

Xˊ、Yˊ-投影于抵償高程面上的新坐標

因為：

(Xˊ- X0) /（R+H）= （X- X0）/（R+H0）

Xˊ=X0+（X-X0）（R+H）/（R+H0）

所以：Xˊ=X0+(X-X0) 〔1+（H-H0）/(R+H0)      （1）   

同理：Yˊ=Y0+(Y-Y0) 〔1+（H-H0）/(R+H0) 〕

以上（1）式即為新老坐標投影換算公式

2  投影于抵償高程面上的高斯平面坐標換算

    將1954年北京坐標換算為投影于地方獨立抵償高程面上的高斯平面坐標，按以下兩種方法考慮：

2.1  方法一

該方法是以抵償高程面作為地方獨立參考橢球面，通過計算任一實測邊長D0投影于地方獨立參考橢球面(即抵償高程面)并經高斯正形投影改化后，得到新的地方獨立坐標系抵償高程Hp上的高斯平面邊長度D2ˊ，與該實測邊長在1954年北京坐標系統高斯平面上長度D2（實測邊長D0投影于克氏參考橢球上經高斯正形投影改化后在高斯平面上的長度）的比值D2ˊ/ D2關系式，推導出新舊投影面上的高斯平面坐標換算公式。如圖2所示：

D0-實測邊長長度

R-投影區地球平均曲率半徑

D1-克氏橢球面上長度

D1ˊ-地方獨立橢球面（抵償高程面）上  長度

D2-1954年北京坐標系高斯平面上長度

D2ˊ---地方獨立坐標系高斯平面上長度 （D1ˊ經高斯正形投影改化后得到的長度）

Hm-實測邊長兩端點平均高程

Hp-抵償高程面高程（即投影面高程）

Ym-實測邊長兩端點距1954年北京坐標系中央子午線之平均距離

Ymˊ-實測邊長兩端點距地方獨立坐標系中央子午線之平均距離

X、Y-1954年北京坐標

Xˊ、Yˊ-投影于抵償高程面上的高斯平面坐標

因為： D1 = D0[1 -Hm/（R+Hm）

D1ˊ = D1(1 + Hp /R)

D2 = D1(1 +Ym2/2R2)-------高斯正形投影改化公式

D2ˊ = D1ˊ[1 +Ymˊ2/2(R+ Hp)2]

=D1(1 + Hp /R)[1 +Ymˊ2/2(R+ Hp)2]---------高斯正形投影改化公式

所以：

任一邊長投影于抵償高程面上的高斯平面長度與其投影于1954年北京坐標系高斯平面上的長度之比= D2ˊ/ D2=(1 + Hp /R) [1 +Ymˊ2/2(R+ Hp)2] / [1+ Ym2/2R2]

由于長度投影變形與方向無關，且坐標與長度成正比例線性關系。

因此：

Yˊ= Y(1 + Hp /R) [1 +Yˊ2/2(R+ Hp)2]/ [1+ Y2/2R2]                              

Xˊ= X(1 + Hp /R) [1 +Yˊ2/2(R+ Hp)2]/ [1+ Y2/2R2]

以上（2）式即為投影于抵償高程面上的高斯平面坐標換算公式，其中Yˊ 坐標計算可以通過解一元二次方程求得，或者取Yˊ = Y(1 + Hp /R)式計算，誤差較小。

2.2  方法二

該方法是首先將原坐標X、Y（1954年北京坐標）進行高斯投影反算，求得大地坐標經緯度L、B。然后在考慮抵償高程面投影時，重新建立地方獨立參考橢球，以抵償高程面作為地方獨立參考橢球面，即在克氏橢球基礎上改變參考橢球長軸a、短軸b的長度，aˊ=a+ Hp，但扁率α（α=1/298.3）、偏心率e保持不變，bˊ= aˊ（1-α），來確定新的地方獨立參考橢球面參數。最后令大地坐標B、L保持不變，通過高斯投影正算，求得新建立的地方獨立參考橢球面上的高斯平面坐標Xˊ、Yˊ，即為投影于抵償高程面上的高斯平面坐標。從而間接達到改變投影面（抵償高程面）時，進行高斯平面坐標換算之目的。