摘　要　鑒于我國中西部是多山地區，為滿足國家統一高程和山區建設的需要，本文提出了用GPS和測距三角高程的方法確定高程異常，再用地形數據推求重力異常垂直梯度，由此可以經濟和快速地實現精化大地水準面的目標。這時邊遠山區任意一點的精度可達30 cm。
關鍵詞　GPS　測距三角高程　重力異常垂直梯度　大地水準面

1　引言
　　當今，一些國家已對山區大地水準面的精化做了許多工作，所用方法大多是地面重力和模型重力場、GPS水準、天文水準等，這些方法不一定完全適用于我國的原因是我國山區面積大，山地的海拔高，難以經濟而有效地開展全面的重力測量與水準測量；另一方面，GPS在我國的使用已較為普遍，J2、T2、T3或全站式經緯儀已大量存在(可能有不少閑置不用)，這種地面的經緯儀或測距儀與空間技術的GPS相結合，用于高差的測量以及高程異常的測定問題就可以更好地得到解決。由于高程異常就是似大地水準面高，它不具有物理意義，也不能作為高程的起始面，以致人們注意到似大地水準面與大地水準面的區別。在山區似大地水準面高(ζ)與大地水準面高(N)的差別尤為明顯。到目前為止，一般人們只顧及(ζ-N)中高程的一次項改正，而沒有考慮到它的二次項改正。為此，本文提出用地形質量推求重力異常的垂直梯度，這為順利進行(ζ-N)中的二次項改正創造前提。關于二次項改正的公式，文獻［1］已作了推導，此處不作贅述。
　　
2　高程異常的確定
　　由于高程異常為大地高與正常高之差，它們分別由GPS和測距三角高程測得，為滿足所需精度，現對它們的測定誤差加以討論。
　　設大地高為H，正常高為h，則ζ=H-h　　(1)
　　可由GPS確定大地高，由于它所測得的是地心坐標，即
式中：B、L為大地緯度和經度，e為地球橢球偏心率，N′為卯酉圈上的曲率半徑，且
式中： ,a為地球赤道半徑，可取為6 378 135 m。
　　經過各項改正和優化設計后的GPS觀測精度現已大為提高［2］。如果取GPS的相對精度為5×10-8，實際有的已達到1×10-8 ［3］，設測點距人衛激光測距(SLR)站為2 000 km,GPS點距為100 km，則相對于SLR站最遠處的GPS點大地高的精度可達2.3 cm，連同SLR點的誤差，其總精度可達3 cm�，F今布設的國家GPS A 級網任一點的精度已達到10 cm［4］，待該網與B級網聯合平差后，其精度將更有所提高，如此有可能使大地高(差)的精度達到10 cm(盡管垂直精度稍遜于水平精度)，用這些點與國家水準網相聯，則其上高程異常的精度足以對山區任一點加以控制。
　　至于正常高的測定及其精度可由下式得到，對向觀測的測距三角高程所得的正常高高差(其中測距測角可用全站儀測得，測距亦可由GPS測得)：
式中： ,ΔE為正常高的重力改正項，S為i,j的點間距離，αij,αji為往返垂直角，ΔΚ為往返折光系數值，R為地球平均曲率半徑，ii,ij,Pi,Pj分別為兩測點的儀器高和覘標高，Ui,Uj為兩點在觀測方向上的垂線偏差，Um為其在線路上的積分的平均值，ΔE為正常高的重力改正項。
　　由式(4)很容易推得正常高高差的中誤差的平方為
式中mα為垂直角觀測誤差，對于S為1.5 km，mα為1″，則上式中右邊第一項誤差m1＝±3.6 mm，第二項為距離引起的誤差m2＝±5.1 mm，第三項為折光引起的誤差m3＝±8.8 mm，第四項為測量儀器高和覘牌高引起的誤差(m4)，取m4＝±1 mm，第五項為垂線偏差非線性引起的誤差(m5)，m5=±7.5 mm。此處折光系數誤差取為±0.1(似乎偏大)，據試驗，在珠穆朗瑪峰附近的k值僅有0.080±0.005,其周日變化幅度Δk=0.01�。�5］，垂線偏差非線性項的誤差為±1″，且可以限制重力項改正誤差m6≤±5 mm，如此，正常高高差的總誤差為±14.1 mm。顯而易見，在上列誤差中，折光的影響最大，它約占整個誤差的五分之四，其次是垂線偏差項的影響，因此在測距三角高程中研究折光系數及其誤差至為重要。關于折光和垂線偏差的影響等問題，我們已在文獻［6，7］中加以討論。但不管怎樣，在山區用測距(GPS)三角高程完全可以達到三等水準的精度要求［8］。需說明的是，此處在用GPS測距時僅用廠家標稱精度，即5mm+1×10-6D。
　　如果考慮到與國家GPS點相重合的水準點的起始誤差為±15 cm,待求點與該點相距300 km，則對200個測段測距三角高程的累積誤差，應為±19.9 cm，此時邊遠山區待求點(測線終端)的正常高的誤差為(152+19.92)1/2＝±24.9 cm。若該(端)點與附近控制點進行GPS高精度聯測，并可使大地高的精度達到15 cm,最終可算得高程異常的總誤差為(4.92+152)1/2＝±29.1 cm，這已經等同于GPS水準的精度［9］。
　　
3　(ξ-N)中的二次項改正
　　在一些高山地區尤其是在山項或山谷處，僅用如下的一次項改正公式是不能滿足精度要求的，這時
式中： 為從地球橢球到地球表面正常重力平均值，H為正常高，ΔgB為布格重力異常。對于顧及二次項的表達式為
式中 為空間重力異常的垂直梯度。從這里可以看出，欲求高程二次項改正的關鍵是要確定 。為此本文作如下討論。
　　眾所周知，山區的空間異常主要反映了地表處物質界面(地形)的特性，它與起伏的地形相關得很好，兩者的相關系數在山區可達0.96～0.97�。�10］。而空間異常的垂直梯度更反映了接近測點的起伏水平的地形特征，只是它的波長比空間異常更短，它與局部地形效應更為密切，因此我們可用地形數據(包括山巖密度)來推求。為便于誤差討論，以下將空間異常的相關系數(0.96)與1的差值(0.04)表示異常垂直梯度的代表誤差(相對)。
　　設以計算點為坐標原點，選取Z軸向下的坐標系。對于實心圓柱和空心圓柱體引起的異常垂直梯度可分別用以下兩式表示［11］：
　　(8)
　　(9)
式中：G為引力常數，ρ為表層山巖密度，Z為測點距高為H的圓柱頂部中心的距離，R，R1，R2分別為圓柱的半徑及內、外半徑。
　　依等影響原則可以對圓柱體進行環帶的劃分，具體計算公式如下：
　　令
i=(1)/(2)(Ri+Ri-1)
　　Δri=Ri+1-Ri
　　Δri-1=Ri-Ri-1
　　從上式可以看出，若已知第一個環帶的內外半徑，則第二個環帶的兩個半徑之差Δr即可求出。如第一個環帶的內外半徑為R1＝30 m,R2＝90 m，由此可推出第二個環帶半徑Δr=214 m，依此可以類推出i=3,4，……的環帶半徑，當推到i=9環帶后，相應的外半徑為165 km，對于高度為4 km的空心圓柱，它對梯度的影響也只有8 ns-2。
　　對于地形高不精確引起的誤差
式中：mH為高程誤差，A為地面的傾角，R2為第二個環帶的半徑。
　　根據公式(8)，經推導，可以求得因山巖密度不精確引起的誤差公式
式中mρ為選取山巖的密度誤差。
　　此外，我們還對地球曲率與略去遠區域(計算是在有限范圍內進行)的影響進行了估算，計算的結果表明：它們的影響較小，都可以忽略(詳見關于地形質量確定異常垂直梯度的幾個問題)。
　　根據以上分析，在略去地球曲率及遠區域的影響后，用地形數據計算異常梯度的誤差包括有：代表誤差mr，高程和山巖密度不精確引起的誤差mH和mvp。因此對于異常梯度達到1 000 ns-2時的總的誤差如下：
　　從上面分析中可以看出，在用地形質量作異常垂直梯度，它的代表誤差仍占重要部分，其相對誤差為5%，但當該量小于600 ns-2時，高程的誤差則變為主要部分，那時總的誤差MS將小于40 ns-2。這相當于在1 m的高差內以4×10-8 ns-2的精度作實際梯度的觀測，依目前情況看，兩者是很接近的。
　　根據以上方法，我們利用地形圖及巖石密度資料，對珠穆朗瑪峰和佘山分別進行了異常梯度的計算，輔之以其它數據，確定的珠峰大地水準面相對于WGS-84橢球為-30.36±0.28 m，高程為8847.82±0.28 m［12］。若不顧及異常垂直梯度的影響，將導致大的誤差。對于佘山，計算的異常梯度為924 ns-2，將它與正常重力垂直梯度3086 ns-2相加，則得4010 ns-2,此值與實測值3960 ns-2相差為50 ns-2。但這里包括了實測的與計算的誤差。事實上，在國家85重力網中，利用兩臺LCR-G型重力儀在佘山六次觀測的誤差為±30 ns-2。由于佘山的海拔僅為98 m，故異常梯度項對大地水準面的改正很小，但這在我國西部特高山地區必須考慮，若在海拔為6 000 m的高山之巔，其上的異常梯度與佘山相同，則略去該項(見式(7))的影響將為3 m。另有意義的是，從該例說明了用本文的方法計算得到的結果，與實測的很為接近。
　　順便指出，自1995年斯教伯格［1］提出并證明(ζ-N)中的二次項改正后，隨即引起國內外學者的關注。例如，1997年拉普指出［13］，關于該項有多大影響，這是有待進一步研究的問題。本文在此所作的介紹，正是我們在這一問題上的研究和進展。
　　±40 ns-2空間異常垂直梯度的誤差，對于高程為5 000 m的高山，它給(ζ-N)帶來的影響為±0.051 m。若(ζ-N)第一項中的ΔgB的誤差為±5×10-8 ms-2，由此引起的誤差為±0.026 m。它們的總誤差為±0.057 m。在顧及用本文的方法測定高程異常的誤差±0.291 m后，則由ζ歸化到大地水準面的誤差為 。這就是說對于幅員廣大的我國的任何一點(包括山區)，如采用本文的方法，大地水準面的精度可達30 cm。
　　
4　結語
　　(1) 利用GPS測距三角高程，可以使我國中西部山區高程異常精度有大的提高，而且用這種方法施測要比GPS水準和加密重力更為經濟。
　　(2) 在由高程異常轉化為大地水面時，必須顧及空間異常垂直梯度的改正，因為在山區該項改正是相當大的。
　　(3) 在山區尤其是高山地區，采用地形質量計算異常垂直梯度是一個比較理想和實際可行的方法。
　　(4) 采用以上方法推求的我國邊遠山區的任意一點大地水準面的精度可達30 cm。

參考文獻
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11　Elkins T A. Vertical Gradient of Gravity on Axis for Hollow and Solid Cylinders. Geophysics, 1966,31(40):816～820
12　張赤軍.珠穆朗瑪峰大地水準面和高程的確定.科學通報，1997，42(23)：2543～2545
13　Rapp R H. Use of Potential Coefficient Models for Geoid Undulation Determinations Using a Spherical Harmonic Representation of the Height Anomaly Geoid Undutation. Journal of Geodesy,1997,71:282～289