摘　要　本文研究了制約三維平差發展的兩個主要因素：(1) 天文觀測工作量大，(2) 受垂直折光的影響天頂距觀測精度低。在此基礎上，提出了把天文經緯度作固定的天文固定三維平差法。該方法采用現有的垂線偏差分量來代替外業天文經緯度觀測值，并在函數模型中適當處理天頂距垂直折光的影響，獲得了滿意的結果。另外，本文還針對三維平差觀測值種類多的特點，通過試驗，認為采用FÖrstner近似公式為好。同時，本文給出了邊長和天頂距的垂直歸心公式。
關鍵詞　三維平差 函數模型 垂直折光 垂直歸心

1 引 言
　　1978年，布隆斯(BRUSS)提出了三維平差的設想，該設想把大地網看作由空間直線構成的多面體(BRUSS多面體)，在這個多面體上任一大地網點可由表征該點空間位置的三個坐標參數和表征該點垂線方向的二個方向參數來表示，通過觀測水平方向、空間斜距、天頂距、天文經緯度和天文方位角在平差中確定上述五個參數。經過馬魯西(A•Marussi)、霍丁(M•Hotine)、沃爾夫(H•Wolf)等學者的研究，三維平差的理論從設想變成現實，建立了三維平差的數學模型。三維平差的觀測值包括每個控制點上的方向、天頂距、天文經緯度和至少一個方向的天文方位角、部分觀測邊長，這不僅大大地增加了外業工作量，而且天文觀測受天氣影響嚴重，作業效率很低。另外，垂直折光的影響造成外業天頂距精度低。這兩方面因素制約了三維平差的廣泛應用和進一步發展。鑒于此，本文提出了天文固定的三維平差方法，該方法從現有的三維平差函數模型出發，把天文經緯度作固定，達到充分利用已有垂線偏差分量，減少系統性參數，從而減少對外業天文觀測量的數量要求；在函數模型中排除單向觀測天頂距，利用對向觀測天頂距進行垂直折光的削弱，有效地減弱垂直折光對平差結果的影響。
　　作者通過試驗認為對于三維平差來說，采用FÖrstner近似公式進行方差分量估計最實用。
　　三維平差是以標石中心為出發點，因而所有觀測值均要求歸算到標石中心，這樣就產生了垂直歸心的問題。由于標高、儀器高相對較小，水平方向、天文經緯度和天文方位角的垂直偏心并不影響平差結果，所以不需要歸心。而邊長和天頂距會由于觀測與照準的部位不同而不同，因而平差前必須對其進行歸心處理。
2 天文固定的三維平差函數模型
　　天文固定的三維平差函數模型就是把大地點上的概略天文經緯度作為已知值固定的三維平差。設K點的站心直角坐標：
則有：
式中：αki為k點至i點的天文方位角，βki為k點至i點的天頂距，Ski為k點至i點的空間弦長。
　　由文獻［1］可得站心直角坐標系與參心直角坐標系的關系。
　　當把天文經緯度固定時有三維平差函數模型。
2.1 斜距觀測值Ski的誤差方程
Ｖski=C1(δΧi-δXk)+C2（δYi-δYk）+C3（δΖi-δΖk）+lSki　　　　
(2)
式中：
2.2 水平方向觀測值nki的誤差方程
Vnki=-δθk+αi1δXi-αk1δXk+αi2δYi-αk2δYk+αi3δZi-αk3δZk+lnki　　　　
式中：
見式(2) http;//www.othermap.com測繪信息網
2.3 天文方位角觀測值αki的誤差方程
Vαki=αi1δXi-αk1δXk+αi2δYi-αk2δYk+αi3δZi-αk3δZk+lnki　　　　
(4)
式中：
lαki=α0ki-αki, αi1，αk1，…α０ki見式(3)。
2.4 天頂距觀測值βki的誤差方程
Vβki=bi1δXi-bk1δXk+bi2δYi-bk2δYk+bi3δZi-bk3δZk+lBki　　　　
(5)
式中：http;//www.othermap.com測繪信息網
b 
　　α為參考橢球長半徑。
2.5 水準高差觀測值Δhki的誤差方程
VΔhki=di1δXi-dk1δXk+di2δYi-dk2δYk+di3δZi-dk3δZk+lΔhki　　　　
式中：
di1=cosB0icosL0i, di2=cosB0isinL0i, di3=sinB0i
dk1=cosB0kcosL0k, dk2=cosB0ksinL0k, dk3=sinB0k
lΔhki=Δh０ki-Δhki+ζk-ζi
ζi、ζk分別為i、k點的高程異常。
　　垂線偏差分量ξ、n對斜距觀測值和水準高差觀測值沒有影響，微分天文方位角α和天頂
距β可得：http;//www.othermap.com測繪信息網
dα＝sinα0ctgβ0dφ+(sinφ０-ctgβ０cosφ0cosα0)dλ
dβ＝-cosα0dφ-cosφ０sinα０dλ
　　如果取φ0＝B、λ0＝L、dφ＝ξ、dλ＝ηsecφ０
則有：
dα＝ξsinα0cotβ0+η(tanφ0-ctgβ0cosα0)
dβ＝-ξcosα0-ηcosα0
　　由上式可以看出，用天文經緯度計算的α和β包含著垂線偏差分量對α和β的影響，其量值就是常規平差時的垂線偏差改正數，而由天文固定的三維平差函數模型可知，垂線偏差對誤差方程系數的影響甚微。因此，天文固定的三維平差自由項l既反映了垂線偏差的貢獻，同時也包含垂線偏差分量的誤差和概略大地坐標的誤差的影響。概略大地坐標的誤差可以通過多次平差進行消除(經過驗證概略坐標精度達到5 m即可)，垂線偏差分量誤差對平差結果的影響與常規二維平差相一致。
3 觀測邊長和天頂距垂直歸心公式
3.1 邊長垂直歸心公式［5］
　　方法1：假定測站兩端點垂線交于地心附近，則：
i為儀器高，a為標高，ＲＡ為地球長半徑。該方法簡單明了，能滿足毫米級的精度要求。
　　方法2：用觀測邊長計算橢球面弦長l０后計算標石中心弦長S０
式中
N1、N2分別為測站兩端點對應的卯酉圈曲率半徑，B1、B2為大地緯度，a1、b分別為參考橢球長短半徑，e2為第一偏心率。
　　方法3：用大地線長S0計算橢球面弦長l0后計算S：
式中A為測站點到照準點的大地方位角，e′２為第二偏心率。
3.2 天頂距垂直歸心公式：
　　概略計算公式：
式中a為標高、i為儀器高、S為觀測邊長，該公式能滿足0.1″級的歸心精度要求。
　　精確計算公式［５］：
采用下式計算β1、β2也能得到同樣的結果。
4 計算結果與分析
　　計算試驗區測于50年代，該鎖由22個一等三角點組成，如圖1。
圖1以2、3兩點作固定，本三角鎖共計觀測了49條激光邊S，100個一等水平方向值n,94個對向觀測天頂距β，4個天文經緯度和天文方位角，假定天頂距等權的前提下，取σon=0.7″，σoβ＝5.0″,σos＝0.005+S×10-6，σoφ＝σoλ=0.3″,σoα＝0.5″，采用FÖrstner近似公式進行方差分量估計的迭代計算，FÖrstner近似公式為
式中N表示全網的法方程系數陣，Ni表示由第i類觀測值的對應部分。
得出如下結果：
作為比較，以同樣條件計算了Helmert嚴密方差分量估計，得出了類似的結果：
　　由此可知，這兩種方法所得的結果幾乎相等，因此具有三類觀測值的FÖrstner遞推公式是準確可行的。
　　取上述隨機模型結果，在54北京坐標系分別進行天文固定三維平差和常規二維加一維平差，據其結果的差值可知，天文固定三維平差結果與常規二維平差結果略有不同，其原因是由于高程觀測值對水平位置平差結果的貢獻，且這種貢獻因缺、乏強有力的控制而過大，從而導致天文固定三維平差水平位置結果與常規二維平差結果略有不同。天文固定三維平差的高程位置結果與常規三角高程平差結果也有差異，主要是由于三維平差在處理天頂距時加入垂線偏差分量的影響。而在常規平差時對此不加考慮(詳細結果可向作者索取)。
　　眾所周知，天頂距觀測值的垂直折光誤差由觀測瞬間測線所經過處的瞬間垂直折光系數所決定，任意瞬間某處的折光系數K與該處的瞬時氣壓、氣溫和溫度梯度及濕度有關。研究表明，對于同一測線，在相同的季節，近似的天氣情況下，中午時段對向觀測天頂距的折光差基本相同［2］,因此嚴格依據規范測量的三角高程網，其折光誤差在往返測高差中得到絕大部分的抵消，僅殘留由于氣象條件改變而無法抵消的較小部分。實驗表明，設與不設折光系統性參數δＫ，平差結果完全一致，符合文獻［2］的結論，同時，計算結果驗證了垂線偏差分量對天文固定三維平差的貢獻與對常規二維平差的貢獻的一致性。
　　利用下式：
i=1,2,……，n n為點數。
　　對19、21兩點進行天文固定三維平差的精度估計，與之對應，也進行了三角高程平差和常規二維平差的精度估計，其結果列于表1。由表1可知，天文固定三維平差與常規平差的水平置精度相當，而有效地提高了高程結果的精度。
表1
　 水平位置精度m=m２B+m2L/m 高程位置精度mＨ/m
點號 天文固定平差 常規二維平差 天文固定平差三角高程平差 
19 0.71 0.68 1.111.36 
21 0.73 0.70 1.121.38
經過本文的研究，得出如下結論：(1) 天文固定三維平差，利用已有的垂線偏差分量來代替外業天文經緯度觀測值，既減少了對外業天文觀測值的數量要求，同時又獲得了滿意的結果；(2) 天文固定三維平差，采用對向觀測天頂距消除折光誤差效果顯著，有效地提高三維平差中高程結果的精度；(3) 天文固定三維平差獲得統一的三維大地坐標，明確了三角高程的大地高系統；(4) FÖrstner近似公式是多類觀測值之間的定權的一種有效的方法，該方法避免了采用嚴密的方差分量估計時許多復雜的矩陣運算。

參考文獻
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